2.4 유체 속에서의 낙하: 종단 속도

(a) 유체의 마찰력이 속도에 1차 비례할 경우, 그리고 낙하하는 물체는 중력을 받는 경우에 우리는 아래와 같이 식을 쓸 수 있습니다.

$$-mg-c_1v=\frac{mdv}{dt}$$​​

변수를 분리하여 적분을 하면​

$$t=\int _{v_0}^v\frac{mdv}{-mg-c_1v}=-\frac{m}{c_1}\ln \frac{mg+c_1v}{mg+c_1v_0}$$​​​

이고 v0​는 t=0 일 때 초기속도입니다.​

v에 관하여 정리하면​

$$v=-\frac{mg}{c_1}+\left(\frac{mg}{c_1}+v_0\right)e^{-c_1t/m}$$​

$$t\ \gg \ \frac{m}{c_1}면\ Exponential\ term은\ 무시해도\ 될\ 정도로\ 작아집니다.$$​

$$그러면\ 속도\ v는\ -\frac{mg}{c_1}로\ 접근하고\ 해당\ 속도가\ 종단\ 속도가\ 됩니다.$$​

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(b) 유체의 마찰력이 속도의 2차 비례할 경우, 아래 방향을 +y 축으로 하고 물체가 아래로 떨어지는 경우엔 다음과 같은 미분방정식을 쓸 수 있습니다.

$$ma=m\frac{dv}{dt}=mg-c_2v^2=mg\left(1-\frac{c_2}{mg}v^2\right)$$​

$$\ \ \ \ \ =mg\left(1-\frac{v^2}{v_t^2}\right)$$ ​

$$\frac{dv}{dt}=g\left(1-\frac{v^2}{v_t^2}\right)\left(1\right)$$​

$$where\ v_t=\sqrt{\frac{mg}{c_2}}\ \left(종단\ 속도\right)$$​

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$$식\left(1\right)을\ 적분하면$$​

$$t-t_0=\int _{v_0}^v\frac{dv}{g\left(1-\frac{v^2}{v_t^2}\right)}=\tau \left(\tanh ^{-1}\frac{v}{v_t}-\tanh ^{-1}\frac{v_0}{v_t}\right)$$​

$$where\ \tau =\frac{v_t}{g}=\sqrt{\frac{m}{c_2g}}\ \ \ \ \left(characteristic\ time\right)$$​

v에 관하여 풀면​

$$v=v_t\tanh \left(\frac{t-t_0}{\tau }-\tanh ^{-1}\frac{v_0}{v_t}\right)$$

가 나온다.

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만약 거리에 따른 속도를 알고 싶다면 아래와 같이 구할 수가 있습니다.

$$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}\frac{dv^2}{dy}$$​​

식(1)을 아래와 같이 쓸수 있습니다.​

$$\frac{1}{2}\frac{dv^2}{dy}=g\left(1-\frac{v^2}{v_t^2}\right)$$​

해당 방정식을 풀어보면​

$$u=1-\frac{v^2}{v_t^2}\ \ \ \ so\ \ \ \frac{du}{dy}=-\frac{1}{v_t^2}\frac{dv^2}{dy}=-\left(\frac{2g}{v_t^2}\right)u$$​

$$u=u\left(y=0\right)e^{-2gy/\left(v_t^t\right)^2}\ \ \ \ \ \ but\ \ \ \ u\left(y=0\right)=1-\frac{v_0^2}{v_t^2}$$​​​

$$u=\left(1-\frac{v_0^2}{v_t^2}\right)e^{-\frac{2gy}{v_t2}}=1-\frac{v^2}{v_t^2}$$​​​

$$\therefore v^2=v_t^2\left(1-e^{-\frac{2gy}{v_t2}}\right)+v_0^2e^{-\frac{2gy}{v_t2}}$$​​

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참고

$$\tanh x\equiv \frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$​​

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