2.3 이원자 분자의 위치 에너지

$$V\left(x\right)=V_0\left[1-e^{-1\left(x-x_0\right)/\delta }\right]{^2}-V0$$

$$V_0,\ x_0,\ \delta 는\ 관찰된\ 이원자\ 분자의\ 행동에\ 대한\ parameters입니다.$$

위와 같이 표현된 V(x)는 떨고? 있는 이원자 분자의 x에 관한 potential energy에 대해 근사한 Morse function입니다.

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이 방정식을 x에 대해 미분하면 우리가 앞에서 설명한 힘이죠?

$$F\left(x\right)=-\frac{dV\left(x\right)}{dx}$$​​

$$힘이\ 0이\ 되는\ 지점이\ 진동하는\ 두\ 원자의\ 평형이\ 되는\ 위치입니다.$$​

$$따라서\ F\left(X\right)=-\frac{dV\left(x\right)}{dx}=0$$​

$$\frac{2V_0}{\delta }\left(1-e^{-\frac{\left(x-x_0\right)}{\delta }}\right)\left(e^{-\frac{\left(x-x_0\right)}{\delta }}\right)=0$$

$$1-e^{-\frac{\left(x-x_0\right)}{\delta }}=0$$

$$\therefore x=x_0$$​​

가 되고 해당 V(x)에 x0를 넣어보면 V(x0)=-V0가 됩니다.

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위의 potential energy를 그래프로 그려보면 아래와 같은 그래프 형태가 나옵니다.

https://www.desmos.com/  활용

 

위에 식에서 저는 x0를 임의 숫자 1로 표현했지만, x가 x0에 가까워지면 potential energy 함수는 포물선 형태와 가깝고 그 힘은 선형의 힘으로 근사 됩니다.

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따라서, 지수함수의 다항함수의 근사를 이용하면 아래와 같이 평형점 근처에서의 힘을 구할 수 있습니다.

$$V\left(x\right)\approx V_0\left[1-\left(1-\frac{\left(x-x_0\right)}{\delta }\right)\right]{^2}-V_0$$​​

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \approx \frac{V_0}{\delta ^2}\left(x-x_0\right)^2-V_0$$​​

$$F\left(x\right)=-\frac{dV\left(x\right)}{dx}=-\frac{2V_0}{\delta ^2}\left(x-x_0\right)$$​