2.3 위치에 따라 변하는 중력장에서의 에너지

뉴턴의 중력 법칙은

$$F_r=-\frac{GMm}{r^2}$$

로 표현됩니다. G는 중력 상수, M은 지구의 질량, r은 지구 중심에서 물체까지의 거리입니다.

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물체의 변하는 높이가 r에 대비에 매우 작기 때문에 지표면에서는 -mg로 표현했고

$$g=\frac{GM}{r_e^2}$$

$$r_e=지구\ 중심에서\ 지표면까지의\ 거리$$​

를 의미합니다.

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지표면에서부터 수직으로 이동을 x라고 하면

$$F\left(x\right)=-mg\ \frac{r_e^2}{\left(r_e+x\right)^2}=m\ddot{x}$$

로 나타낼 수 있습니다.

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해당 식의 미분방정식을 풀면

$$-mgr_e^2\int _{x_0}^x\frac{dx}{\left(r_e+x\right)^2}=\int _{v_0}^vmvdv$$

$$mgr_e^2\left(\frac{1}{r_e+x}-\frac{1}{r_e+x_0}\right)=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2$$

가 됩니다.

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위의 식을 통해 탈출 속도에 따른 높이를 구해본다면 아래와 같습니다.

$$초기\ 속도를v_0,\ 지표면에서\ 높이\ x_0=0으로\ 하고$$

$$위의\ 식을\ v^2에\ 대해\ 나타내면$$

$$v^2=v_0^2-2gx\left(1+\frac{x}{r_e}\right)^{-1}$$

$$가\ 됩니다$$​

터닝포인트 즉, v=0이 되는 높이를 h=x_max라고 하면

$$x_{\max }=h=\frac{v_0^2}{2g}\left(1-\frac{v_0^2}{2gr_e}\right)^{-1}$$​

가 됩니다. 만약 h가 무한대로 가면 우리는 이때의 v0의 속도를 탈출 속도라고 합니다.

$$v_e=\left(2gr_e\right)^{\frac{1}{2}}$$​​

$$g=9.8m/s^2\ ,\ r_e=6.4\times 10^6m\ 임으로\ 위\ 식에\ 대입하면$$​

$$v_e\backsimeq 11km/s가\ 됩니다.$$​

지구 대기의 산소 분자와 질소 분자는 대략 0.5km/s임으로 종단 속도보다 느려서 대기를 형성하고 있는 것입니다. 비슷한 계산으로 달의 반지름과 중력 가속도를 대입하면 달에 공기가 없다는 것을 계산할 수 있겠습니다. 또한 지구의 대기에 수소 분자가 매우 소량인 이유도 알 수 있습니다.