2.4 속도에 의존하는 힘: 유체 저항 및 종단 속도

체의 속도에 연관되어 작동하는 힘이 있습니다.

일상생활에서 접할 수 있는 힘이기도 한데요.

물속에서 떨어지는 물체의 속도라든지 공기 중에서 떨어지는 물방울의 속도가 그러합니다.

둘 다 중력을 받지만 속도가 계속 빨라지지 않고 일정 속도를 유지하게 되는 경우입니다.

이러한 물체의 운동에 대해 아래와 같은 미분 방정식으로 표현할 수 있습니다.

 

$$F_0+F\left(v\right)=m\ \frac{dv}{dt} \left(1\right)$$​

$$F_0+F\left(v\right)=mv\ \frac{dv}{dx}$$​

F0는 속도와 관계없는 힘(위에서 예를 든 중력이라든지)입니다.

유체에서의 속도에 관한 힘 F(v)는 실험을 통해 구하는 함수로 간단한 함수가 아닙니다.

그러나 보통은 아래와 같이 근사 된 형태의 방정식을 가집니다.

 

$$F\left(v\right)=-c_1v-c_2v\left(|v\right|)=-v\left(c_1+c_2\left|v\right|\right)$$

$$c_1과\ c_2는\ 물체의\ 크기와\ 모양에\ 대한\ 값.$$

 

위 식을 식(1)의 미분 방정식에 대입하여 적분을 하기는 어렵지만 속도 v의 크기에 따라 아주 작거나 아주 큰 경우를 나눠 계산하면 손쉬운 계산 결과를 얻을 수 있습니다.

 

구(공)의 형태일 때 아래와 같은 근사 된 값을 가집니다.

 

$$c_1=1.55\times 10^{-4}D$$​

$$c_2=0.22D^2$$​

$$D=구의\ 직경$$​

 

이때 두 항의 비를 비교해 보면

 

$$\frac{0.22v|v|D^2}{1.55\times 10^{-4}vD}=1.4\times 10^3|v|D$$​​

 

가 되며 지름이 7cm 짜리의 야구공을 예를 들면 2차 항이 우세하려면 속도가 0.01m/s 이상이 되면 됩니다.

 

 

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ex) 속도에 관한 1차(선형) 저항이 있는 운동

 

$$F_0=0,\ v_0인\ 경우의\ 물체의\ 운동을\ 기술해보자.$$​

$$\left(1\right)식에서\ 위\ 조건을\ 대입하면\ \ $$​

$$-c_1v=m\frac{dv}{dt}$$​​

​

$$위\ 식을\ t와\ v에\ 관해\ 적분합니다.$$​

$$t=\int _{v_0}^v-\frac{mdv}{c_1v}=-\frac{m}{c_1}\ln \left(\frac{v}{v_0}\right)$$​

​

$$v에\ 관한\ 식으로\ 나타내면\ 아래와\ 같습니다.$$​

$$v=v_0e^{-c_1t/m}$$​

​

$$다시\ x와\ t에\ 관해\ 적분하면\ 아래와\ 같습니다.$$​

$$x=\int _0^tv_0e^{-c_1t/m}dt$$​

$$\ =\frac{mv_0}{c_1}\left(1-e^{-c_1t/m}\right)$$​

$$x_{\max _{ }^{ }}=\frac{mv_0}{c_1}$$​​​

​

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ex) 속도에 관한 2차 저항이 있는 운동

​

$$-c_2v^2=m\frac{dv}{dt}$$​​

$$를\ t과\ v에\ 대해\ 적분하면$$​

$$t=\int _{v_0}^v-\frac{mdv}{c_2v^2}=\frac{m}{c_2}\left(\frac{1}{v}-\frac{1}{v_0}\right)$$​

$$v에\ 관해\ 정리하면$$​

$$v=\frac{v_0}{1+kt},\ k=c_2v_0/m$$

​

$$x와\ t에\ 대해\ 적분하면$$​

$$x\left(t\right)=\int _0^t\frac{v_0dt}{1+kt}=\frac{v_0}{k}\ln \left(1+kt\right)$$​

가 됩니다.

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