2.3 위치에 의존하는 힘: 위치에너지와 운동에너지의 개념

입자가 다른 입자와의 위치에 따라 힘이 달라지는 것에 대한 개념을 우리는 알고 있습니다.

종종 들어보는 힘 중에 중력이나 정전기력 같은 힘이 그 예입니다.

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힘이 속도와 시간에 독립적이라면 우리는 아래와 같은 간단한 미분방정식을 써서 나타낼 수 있습니다.

$$F\left(x\right)=m\ddot{x}$$​

해당 식을 가속도에 관해 chain rule이라는 수학적 방법을 통해 표현하면 아래와 같습니다.

$$\ddot{x}=\frac{d\dot{x}}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{d\dot{x}}{dx}=v\frac{dv}{dx}$$​​

위의 식을 F(x)에 대입하면

$$F\left(x\right)=mv\ \frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\ \frac{d\left(v^2\right)}{dx}=\frac{dT}{dx}$$

$$T=\frac{1}{2}mv^2이고\ 운동\ E로\ 정의합니다.$$

$$위\ 식을\ 적분\ 형태로\ 표현하면\ 아래와\ 같습니다.$$

$$W=\int _{x_0}^xF\left(x\right)dx=T-T_0$$​​

$$\int _{\ }^{\ }F\left(x\right)dx는\ 힘\ F\left(x\right)에\ 대한\ 일\left(W\right)을\ 의미합니다.$$

일은 운동 에너지의 변화와 같은 것이죠.

$$-\frac{dV\left(x\right)}{dx}=F\left(x\right)로\ 정의하고$$​

$$V\left(x\right)를\ potential\ energy로\ 부릅니다.$$

$$W=\int _{x_0}^xF\left(x\right)dx=-\int _{x_0}^xdV=-V\left(x\right)+V\left(x_0\right)=T-T_0$$​​

$$T_0+V\left(x_0\right)=T+V\left(x\right)=constant\equiv E$$

위 식은 에너지 방정식이라고 불러도 좋고, E는 입자의 total energy라고 정의합니다.

운동하는 입자의 위치 에너지와 운동 에너지의 합은 일정하다는 것을 의미합니다.

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입자의 속도는 에너지 방정식을 풀어서 구할 수가 있습니다.

$$v=\frac{dx}{dt}=\pm \sqrt{\frac{2}{m}\left[E-V\left(x\right)\right]}$$​

$$위\ 식을\ 적분식으로\ 바꾸면$$

$$\int _{x_0}^x\frac{dx}{\pm \sqrt{\frac{2}{m}\left[E-V\left(x\right)\right]}}=t-t_0$$

$$가\ 되어\ 시간\ t는\ x의\ 관한\ 함수임을\ 알\ 수\ 있습니다.$$

위 식은 속도 v가 V(x)의 x에 관한 함수임을 알 수 있습니다.

속도 v가 0이 되는 순간 V(x)는 최대치이며 이때 모든 에너지가 potiential energy로 전환되고 운동의 전환점이라고 불러도 좋겠습니다.